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标题: 【数据结构】二叉树及满二叉树、完全二叉树 [打印本页]

作者: wander    时间: 2023-7-11 22:43
标题: 【数据结构】二叉树及满二叉树、完全二叉树
简单地理解,满足以下两个条件的树就是二叉树:
例如,图 1a) 就是一棵二叉树,而图 1b) 则不是。


图 1 二叉树示意图

二叉树的性质经过前人的总结,二叉树具有以下几个性质:
性质 3 的计算方法为:对于一个二叉树来说,除了度为 0 的叶子结点和度为 2 的结点,剩下的就是度为 1 的结点(设为 n1),那么总结点 n=n0+n1+n2。
同时,对于每一个结点来说都是由其父结点分支表示的,假设树中分枝数为 B,那么总结点数 n=B+1。而分枝数是可以通过 n1 和 n2 表示的,即 B=n1+2*n2。所以,n 用另外一种方式表示为 n=n1+2*n2+1。
两种方式得到的 n 值组成一个方程组,就可以得出 n0=n2+1。

二叉树还可以继续分类,衍生出满二叉树完全二叉树
满二叉树如果二叉树中除了叶子结点,每个结点的度都为 2,则此二叉树称为满二叉树


图 2 满二叉树示意图


如图 2 所示就是一棵满二叉树。

满二叉树除了满足普通二叉树的性质,还具有以下性质:完全二叉树如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树,且最后一层的结点依次从左到右分布,则此二叉树被称为完全二叉树


图 3 完全二叉树示意图


如图 3a) 所示是一棵完全二叉树,图 3b) 由于最后一层的节点没有按照从左向右分布,因此只能算作是普通的二叉树。

完全二叉树除了具有普通二叉树的性质,它自身也具有一些独特的性质,比如说,n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log2n⌋+1。
⌊log2n⌋ 表示取小于 log2n 的最大整数。例如,⌊log24⌋ = 2,而 ⌊log25⌋ 结果也是 2。
对于任意一个完全二叉树来说,如果将含有的结点按照层次从左到右依次标号(如图 3a)),对于任意一个结点 i ,完全二叉树还有以下几个结论成立:总结本节介绍了什么是二叉树,以及二叉树的性质,同时还介绍了满二叉树和完全二叉树以及各自所特有的性质,初学者需理解并牢记这些性质,才能更熟练地使用二叉树解决实际问题。





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